什么是费马大定理(Fermat’s Principle)?
发布时间:2023-10-27 02:37:16.000Z
费马大定律又称 "最短时间原理",它指出光从一点到达另一点时,所经过的路径时间最短。它考虑的是覆盖路径的最快时间,而不是最短的距离。这一原理显示了波光学和射线光学之间的联系。费马原理由法国数学家和物理学家皮埃尔-德-费马于 1662 年提出,适用于研究光学设备。
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考虑沿曲线 I(光线的实际路径)的路径 AB,其中 t 表示光线沿曲线 I 上的路径 AB 所需的时间,而 t' 则是光线沿曲线 II 上的路径 AB 所需的时间。因此,对于沿曲线 II 的任何路径 AB,根据该原理,t 可以等于、大于或小于 t'。
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光线在介质中传播一段距离 dS 所需的时间为
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其中,v 为光速
在非均质介质中,介质的光学特性通常用折射率 n(x,y,z)来描述。
众所周知,折射率 "n "为
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其中,c 是真空中的光速
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光线沿曲线 I 经过路径 AB 所需的总时间为
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根据费马原理,光线会在连接两点(如 A 和 B)的众多路径中选择传播时间最短的路径。
由于 "c "是恒定的,所以光线的路径要么是最小值,要么是最大值,要么是 0。
如果介质是均匀的,因此 n(x, y, z) = n0,那么光路长度就是几何路径长度乘以折射率。
费马原理对平面和曲面都适用
对于平面的折射: 当光线从较稀疏的介质射向较稠密的介质时,由于介质折射率的变化,光线的速度和方向也随之改变。光线沿着从光源到目的点所需时间最短的路径前进。
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将每种介质中的距离除以特定介质中的光速,就能得出两点之间的传输时间。
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为了最小化时间,将时间相对于 x 的导数设为零。
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此外,利用正弦的定义,即对边大于斜边,将长度与入射角和反射角联系起来。
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因此,折射定律得到了证实。
在入射角和折射角的交点上,光线经过折射后会走一条最快的路径。
平面反射 当光线照射到平面反射面(如镜子)上时,会遵循反射定律,即入射角等于反射角与表面法线的夹角。费马原理在这里成立,因为光线经过的路径使到达反射点所需的时间最小。
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计算每条路径的长度并用长度除以光速,就能确定光在两点之间传播所需的时间。
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此外,利用正弦的定义,即对边大于斜边,将长度与入射角和反射角联系起来。那么
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当 θ1 和 θ2 较小时、
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因此,反射定律得到了证实。
在入射角等于反射角的这一点上,光线在反射后会走一条最快的路径。
然而,对于球面来说,光线所花的时间要么是最长的,要么是最短的。